Tích phân suy rộng là 1 trong những trong mỗi kiến thức và kỹ năng Toán nâng cao trong của công tác Toán 12. Đây là lý thuyết cần thiết so với những học viên đem triết lý theo đòi thường xuyên ngành Toán khi lên ĐH. Để hiểu rộng lớn về những định nghĩa và phương pháp tính tích phân suy rộng, những em hãy theo đòi dõi nội dung bài viết tổ hợp được biên soạn kể từ Marathon Education tiếp sau đây.
Bạn đang xem: tính tích phân suy rộng
>>> Xem thêm:
- Các Dạng Toán Tích Phân Hàm Ẩn Và Phương Pháp Giải Chi Tiết
- Tích Phân Từng Phần Là Gì? Công Thức Và Cách Giải Các Dạng Bài Tập
Định nghĩa tích phân suy rộng
Tích phân suy rộng là số lượng giới hạn của một tích phân xác lập khi cho tới cận tích phân tiến thủ dần dần cho tới vô nằm trong. Tích phân suy rộng bao hàm 2 loại: tích phân với cận vô hạn (gọi là tích phân suy rộng loại 1) và tích phân của hàm số không biến thành ngăn (tích phân suy rộng loại 2).
Tính hóa học của tích phân suy rộng
1. f khả tích bên trên [a; b] ∀b ≥ a. Khi cơ, ∀α ≥ a.
\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và } \intop_α^{+\infin}f(x)dx \text{ nằm trong quy tụ hoặc nằm trong phân kỳ (Cùng bạn dạng chất)}
2. f khả tích bên trên [a; b], ∀b ≥ a. Khi cơ, ∀α ≠ 0.
\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và } \intop_a^{+\infin}αf(x)dx \text{ nằm trong quy tụ hoặc nằm trong phân kỳ (Cùng bạn dạng chất)}\\
3. f, g khả tích bên trên [a; b], ∀b ≥ a.
\begin{aligned} &\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx\text{ và }\intop_a^{+\infin}g(x)f(x)dx \text{ hội tụ}\Rightarrow \intop_a^{+\infin}(f+g)dx \text{ hội tụ}\\ &\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ quy tụ và }\intop_a^{+\infin}g(x)f(x)dx \text{ phân kỳ} \Rightarrow \intop_a^{+\infin}(f+g)dx \text{ phân kỳ} \end{aligned}
Điều khiếu nại nhằm tích phân suy rộng lớn hội tụ
Mỗi loại tích phân suy rộng sẽ có được những ĐK quy tụ riêng rẽ, ví dụ như sau:
Định lý đối chiếu 1
Điều khiếu nại quy tụ của tích phân suy rộng loại 1 được thể hiện tại như sau:
Định nghĩa:
Giả sử f(x) xác lập bên trên tập dượt [a;+∞) và khả tích bên trên từng đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞
- Nếu tồn bên trên số lượng giới hạn (có thể là hữu hạn hoặc vô cùng) thì số lượng giới hạn này gọi là tích phân suy rộng lớn của f(x) bên trên [a;+∞).
\lim\limits_{b\to +\infin}\intop_a^bf(x)dx:=\intop_a^{+\infin}f(x)dx
\begin{aligned} &\footnotesize\bull \text{Nếu số lượng giới hạn này là hữu hạn, tao suy ra} \textbf{ tích phân suy rộng}\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ là quy tụ.}\\ &\footnotesize\bull \text{Nếu số lượng giới hạn này là vô nằm trong hoặc ko tồn bên trên, tao suy ra}\textbf{ tích phân suy rộng}\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ là phân kỳ.} \end{aligned}
Tương tự động, khái niệm tích phân suy rộng của hàm số f(x) không biến thành ngăn bên trên khoảng tầm (a,b] và (a, b) tiếp tục theo lần lượt nhận x = a và x = b thực hiện điểm phi lý.
\begin{aligned} &\intop_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+}\intop^b_tf(x)dx \text{ và }\intop_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+,\ t'\to b^-}\intop_t^{t'}f(x)dx \end{aligned}
Đối với tích phân đem nhì điểm phi lý x = a, x = b thì tao rất có thể viết lách như sau thời điểm nhì vô tía tích phân rằng bên trên hội tụ:
\intop_a^bf(x)dx=\intop_a^cf(x)dx+\intop_c^bf(x)dx
Định lý (tiêu chuẩn chỉnh ví sánh):
Cho nhì hàm số g(x) và f(x) ko âm và khả tích bên trên [a,t] với từng t>a. Giả sử tồn bên trên số M sao cho tới f(x) ≤ g(x) với từng x > M. Khi đó:
\begin{aligned} &\footnotesize \text{Nếu }\intop_a^{-\infin}g(x)dx \text{ quy tụ thì }\intop_a^{+\infin}f(x)\text{ quy tụ.}\\ &\footnotesize \text{Nếu }\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ phân kỳ thì }\intop_a^{-\infin}g(x)\text{ phân kỳ.} \end{aligned}
Hệ quả:
Cho f(x) và g(x) là nhì hàm số dương khả tích bên trên [a,t] với từng t>a. Giả sử:
\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{f(x)}{g(x)}=k
\begin{aligned} &\footnotesize \bull \text{Nếu } 0< k < +\infin \text{ thì }\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và} \intop_a^{-\infin}g(x)dx \text{ tiếp tục nằm trong quy tụ hoặc nằm trong phân kỳ.}\\ &\footnotesize \bull \text{Nếu } k=0 \text{ thì tồn bên trên M sao cho tới }f(x) \le c.g(x), \forall x \ge M \text{ (giống với lăm le lý)}.\\ &\footnotesize \bull \text{Nếu } k=+\infin \text{ thì tồn bên trên M sao cho tới } f(x) \ge c.g(x), \forall x \ge M \text{ (ngược với lăm le lý)}. \end{aligned}
Định lý đối chiếu 2
Điều khiếu nại quy tụ của tích phân suy rộng loại 2:
Xem thêm: hình nền hoạt hình 3d
Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác lập trong tầm [a,b] và khả tích bên trên [a,t]. Giả sử hàm số f(x) là hàm số xác lập bên trên khoảng tầm [a,b] và khả tích bên trên [a,t] với từng a < t < b, tao có:
\begin{aligned} &\footnotesize \bull \text{Nếu tồn bên trên } \lim\limits_{t\to b^-}\intop_a^tf(x)dx \text{ thì số lượng giới hạn này được gọi là}\textbf{ tích phân suy rộng lớn } \text{của hàm số }f(x) \text{ trong tầm }\\ &\footnotesize \text{[a, b] và đem ký hiệu là}\intop_a^bf(x)dx.\\ &\footnotesize \bull \text{Khi cơ, tao cũng bảo rằng tích phân hội tụ: }\intop_a^bf(x)dx:=\lim\limits_{t\to b^-}\intop_a^tf(x)dx.\\ &\footnotesize \bull \text{Nếu }f(a)=+\infin: \intop_a^bf(x)dx:=\lim\limits_{t\to a^+}\intop_t^bf(x)dx.\\ &\footnotesize \bull \text{Nếu }f(c)=+\infin\text{ (với }c\in (a;b)): \intop_a^bf(x)dx= \intop_a^cf(x)dx+\intop_c^bf(x)dx \end{aligned}
Định lý (tiêu chuẩn chỉnh ví sánh):
Cho f(x) và g(x) là nhì hàm số ko âm, khả tích bên trên [t; b] với từng t ∈ (a; b] (a là vấn đề bất thường). Giả sử tồn bên trên c ∈ (a; b] sao cho tới f(x) ≤ k.g(x), ∀x ∈ (a; c]. Khi đó:
\begin{aligned} &\footnotesize \bull \text{Nếu }\intop_a^bg(x)dx \text{ quy tụ thì }\intop_a^bf(x)dx \text{ quy tụ.}\\ &\footnotesize \bull \text{Nếu }\intop_a^bf(x)dx \text{ phân kỳ thì }\intop_a^bg(x)dx \text{ phân kỳ.}\\ \end{aligned}
Hệ quả:
Với f(x) và g(x) là nhì hàm số ko âm và khả tích bên trên đoạn [t;b] với từng t ∈ (a;b] (trong cơ, a là vấn đề bất thường). Ta fake sử:
\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=k
\begin{aligned} &\footnotesize \bull \text{Nếu } 0< k < +\infin \text{ thì }\intop_a^bf(x)dx \text{ và} \intop_a^bg(x)dx \text{ tiếp tục nằm trong quy tụ hoặc nằm trong phân kỳ.}\\ &\footnotesize \bull \text{Nếu } k=0 \text{ thì tồn bên trên c ∈ (a;b] sao cho tới }f(x) \le k.g(x), \forall x ∈ (a;c]\text{ (giống với lăm le lý)}.\\ &\footnotesize \bull \text{Nếu } k=+\infin \text{ thì tồn bên trên c ∈ (a;b] sao cho tới } f(x) \ge k.g(x), \forall x ∈ (a;c]\text{ (ngược với lăm le lý)}. \end{aligned}
>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 12 Cực Trị Của Hàm Số Và Phương Pháp Tìm Cực Trị
Cách tính tích phân suy rộng
Hiện ni đem đặc biệt nhiều phương pháp tính tích phân suy rộng lớn khác nhau. Một trong mỗi cơ hội được dùng được dùng tối đa đó là luật lệ biến hóa Laplace và Fourier.
Phép biến hóa Laplace và luật lệ biến hóa Fourier
Phép biến hóa Laplace và luật lệ biến hóa Fourier được thể hiện tại qua chuyện ví dụ sau:
\text{Tính: }I(x)=\intop_0^{\infin}\frac{1-cosxt}{t^2}dt
Bài giải:
Để giải câu hỏi này, tao vận dụng luật lệ biến hóa Laplace hoặc Fourier cho tới 2 vế và tìm hiểu hàm gốc của tích phân vừa phải tìm ra.
\begin{aligned} &\bull \ L|I(x)|=\intop_0^\infin e^{-px}\left( \intop_0^\infin\frac{1-cosxt}{t^2}dt\right)dx\\ &=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}\left[ \intop_0^\infin e^{-px}(1-cosxt)dx\right]dt\\ &=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}L(1-cosxt)dt\\ &=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}\Bigg(\frac1p-\frac{p}{p^2+t^2}\Bigg)dt\\ &=\left.\frac{1}{p}arctg\frac{t}{p}\right|_{t=0}^\infin=\frac{\pi}{2p^2}\\ &\bull L^{-1}\Bigg[ \frac{\pi}{2p^2} \Bigg]=\frac{\pi}{2}x\\ &\text{Vậy }I(x)=\frac{\pi}{2}x \end{aligned}
Khai triển tích phân trở nên chuỗi
Khai triển tích phân trở nên chuỗi thông thường được phần mềm nhiều trong số câu hỏi tích phân phức tạp. Việc lựa lựa chọn hàm nhằm tổ chức thực hiện tiếp tục đưa ra quyết định cho tới việc bài xích giải dành được tối ưu hay là không. Do cơ, khi tổ chức thực hiện và hoạn tích phân của tổng tích phân, tao cần thiết để ý cho tới những đối tượng người sử dụng chiếm được đem đáp ứng tính quy tụ của tích phân hay là không. Các em rất có thể thấy rõ rệt điều này vô ví dụ bên dưới đây:
\text{Tính }I=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{e^{-t}-1}{t}dt\right)lnxdx
Bài giải:
Để giải được câu hỏi phức tạp này, tao cần thiết vận dụng chuyên môn khai triển chuỗi Taylor như sau:
\begin{aligned} &I=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{e^{-t}-1}{t}dt\right)lnxdx\\ &=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{\sum\limits_{n=0}^\infin \frac{(-t)^n}{n!}-1}{t}dt\right)lnxdx\\ &=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n}{n!n}\intop_0^\infin e^{-x}\left( \intop_0^xt^{n-1}dt\right)lnxdx\\ &=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n}{n!n}\intop_0^\infin e^{-x}x^nlnxdx\\ &=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Gamma'(n+1)}{n!n}\\ &=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Psi(n+1)}{n}\\ &\text{Trong đó: } \Gamma(x) \text{ và } \Psi(x) \text{ là những hàm Gamma và PolyGamma.}\\ &\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Psi(n+1)}{n}=\gamma ln2+\intop_0^1\frac{-ln2+ln(1+t)}{1-t}dt=\frac{1}{12}(-\pi^2+12\gamma ln2+6ln^22)\\ &\text{Trong đó: } \gamma \text{ là hằng số Euler - Mascheroni.} \end{aligned}
>>> Xem thêm: Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số: Lý Thuyết Và Cách Tìm Đường Tiệm Cận
Tham khảo ngay lập tức những khoá học tập online của Marathon Education
Trên đấy là những kiến thức và kỹ năng tương quan cho tới tích phân suy rộng – một trong mỗi kiến thức và kỹ năng nâng lên nên biết vô công tác Toán trung học phổ thông. Dường như, những em hãy nhờ rằng theo đòi dõi trang web Marathon Education nhằm học trực tuyến nhiều kiến thức và kỹ năng Toán – Lý – Hóa hữu ích không giống. Chúc những em học hành thiệt chất lượng và luôn luôn đạt điểm trên cao.
Xem thêm: máy xông tinh dầu xiaomi
Bình luận