đa thức nội suy lagrange

Bạn đang xem: đa thức nội suy lagrange

Hôm ni tất cả chúng ta tiếp tục kế tiếp học tập về công thức nội suy cho tới nhiều thức. Kỳ trước, tất cả chúng ta tiếp tục học tập về công thức nội suy Newton, thời điểm ngày hôm nay tất cả chúng ta học tập thêm 1 công thức nội suy không giống gọi là công thức nội suy Lagrange.

Chúng tao tiếp tục người sử dụng ví dụ tại đây $$P(x) = 2x^2 - 3x + 3$$

Chúng tao thấy rằng $P(x)$ là 1 trong những nhiều thức bậc nhị và tất cả chúng ta hoàn toàn có thể tính được $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12.$$

Bài toán nhiều thức nội suy là vấn đề ngược, tức là, cho thấy $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, và $P(3) = 12$, lần lại nhiều thức $P(x)$.

Ở một nội dung bài viết trước, tôi sở hữu phân tách xẻ một tay nghề của tôi Lúc thực hiện toán, cơ là lúc đối lập với 1 vấn đề tuy nhiên tất cả chúng ta ko biết nên thực hiện thế nào, thì việc thứ nhất tất cả chúng ta hoàn toàn có thể thực hiện là đánh giá những tình huống quan trọng đặc biệt của vấn đề. Chúng tao demo coi với những tình huống quan trọng đặc biệt cơ thì vấn đề sở hữu xử lý được ko. thường thì bằng phương pháp giải những tình huống quan trọng đặc biệt tuy nhiên tất cả chúng ta lần rời khỏi được những nghệ thuật hoàn toàn có thể dùng làm xử lý vấn đề nhập tình huống tổng quát mắng.

Đối với 1 nhiều thức $f(x)$ ngẫu nhiên, nếu như $f(u) = 0$ thì $u$ là 1 trong những nghiệm của nhiều thức, cho nên vì thế $f(x)$ tiếp tục phân tách không còn cho tới $x-u$, và tất cả chúng ta hoàn toàn có thể viết lách được $f(x)$ bên dưới dạng $$f(x) = (x-u)g(x).$$

Sử dụng đặc thù này, tất cả chúng ta tiếp tục thực hiện một vấn đề giản dị tại đây. Tìm nhiều thức $A(x)$ sao cho tới $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0.$$

Rõ ràng nhiều thức $A(x)$ sẽ sở hữu dạng $$A(x) = a (x-2)(x-3)$$

Hai ĐK $A(2) = 0$, $A(3) = 0$ tiếp tục thoã mãn. Vậy ĐK $A(1) = 1$ thì sao?

Chúng tao thay cho $x=1$ nhập thì sở hữu $$A(1) = a (1-2)(1-3) = 1$$

Vậy tất cả chúng ta hoàn toàn có thể lựa chọn $$a = \frac{1}{(1-2)(1-3)},$$ và như thế tất cả chúng ta tiếp tục tìm kiếm được nhiều thức $$A(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}$$ thõa mãn ĐK $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0.$$

Tương tự động, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể tìm kiếm được nhiều thức $B(x)$ thõa mãn ĐK $$B(1) = 0, ~~B(2) = 1, ~~B(3) = 0,$$ cơ đó là $$B(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}.$$

Và nhiều thức $C(x)$ thõa mãn ĐK $$C(1) = 0, ~~C(2) = 0, ~~C(3) = 1$$ đó là $$C(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}.$$

Ở bên trên, tất cả chúng ta tiếp tục giải những tình huống quan trọng đặc biệt và lần rời khỏi được những nhiều thức $A(x)$, $B(x)$ và $C(x)$ thõa mãn ĐK $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0$$ $$B(1) = 0, ~~B(2) = 1, ~~B(3) = 0$$ $$C(1) = 0, ~~C(2) = 0, ~~C(3) = 1$$

Bây giờ, so với vấn đề tổng quát mắng, lần $P(x)$ sao cho tới $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, $P(3) = 12$ thì sao?

Các các bạn tiếp tục phát hiện ra côn trùng đối sánh thân mật nhiều thức $P(x)$ với những nhiều thức $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ chưa?

Rõ ràng nếu như tất cả chúng ta lấy $$P(x) = 2 ~A(x) + 5 ~B(x) + 12 ~C(x)$$
thì $$P(1) = 2 ~A(1) + 5 ~B(1) + 12 ~C(1) = 2 + 0 + 0 = 2,$$ $$P(2) = 2 ~A(2) + 5 ~B(2) + 12 ~C(2) = 0 + 5 + 0 = 5,$$ $$P(3) = 2 ~A(3) + 5 ~B(3) + 12 ~C(3) = 0 + 0 + 12 = 12.$$

Vậy tất cả chúng ta tiếp tục lần rời khỏi được không ít thức $P(x)$, cơ đó là $$P(x) = 2 ~A(x) + 5 ~B(x) + 12 ~C(x)$$ $$ = 2 \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} + 5 \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} + 12 \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}$$ $$ = (x-2)(x-3) - 5(x-1)(x-3)+ 6(x-1)(x-2) = 2x^2 - 3x + 3$$

Các các bạn thấy ko, chủ yếu nhờ việc giải vấn đề so với những tình huống giản dị là $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$, tuy nhiên tất cả chúng ta tiếp tục lần rời khỏi được lời nói giải cho tới vấn đề tổng quát mắng $P(x)$!

Bây giờ tất cả chúng ta tiếp tục sẵn sàng nhằm tuyên bố công thức nội suy Lagrange.

Nếu $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, $x_{n+1}$ là $n+1$ số thực không giống nhau, và $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$, $y_{n+1}$ là $n+1$ số thực ngẫu nhiên. Chúng tao tiếp tục lần nhiều thức $P(x)$ sở hữu bậc bé xíu bại hoặc bởi vì $n$ thõa mãn ĐK $$P(x_1) = y_1, ~~P(x_2) = y_2, \dots, ~~P(x_n) = y_n, ~~P(x_{n+1})=y_{n+1}.$$

Như phía trên, tất cả chúng ta thấy rằng nhiều thức $P(x)$ hoàn toàn có thể được xây cất kể từ những nhiều thức $P_1(x)$, $P_2(x)$, $\dots$, $P_n(x)$, $P_{n+1}(x)$ như sau $$P(x) = y_1 ~P_1(x) + y_2 ~P_2(x) + \dots + y_n ~P_n(x) + y_{n+1} ~P_{n+1}(x),$$ nhập cơ, những nhiều thức $P_1(x)$, $\dots$, $P_{n+1}(x)$ được xác lập như sau.

$$P_1(x) = \frac{(x-x_2)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_1-x_2)(x_1-x_3) \dots (x_1-x_n)(x_1-x_{n+1})}$$ $$P_2(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_2-x_1)(x_2-x_3) \dots (x_2-x_n)(x_2-x_{n+1})}$$ $$\dots$$ $$P_n(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_{n+1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2) \dots (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n+1})}$$ $$P_{n+1}(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_n)}{(x_{n+1}-x_1)(x_{n+1}-x_2) \dots (x_{n+1}-x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n})}$$

Các nhiều thức này thõa mãn ĐK $$P_1(x_1) = 1, ~~P_1(x_2) = 0, ~~P_1(x_3) = 0, \dots, ~~P_1(x_n) = 0, ~~P_1(x_{n+1}) = 0.$$ $$P_2(x_1) = 0, ~~P_2(x_2) = 1, ~~P_2(x_3) = 0, \dots, ~~P_2(x_n) = 0, ~~P_2(x_{n+1}) = 0.$$ $$\dots$$ $$P_n(x_1) = 0, ~~P_n(x_2) = 0, ~~P_n(x_3) = 0, \dots, ~~P_n(x_{n}) = 1, ~~P_n(x_{n+1}) = 0.$$ $$P_{n+1}(x_1) = 0, ~~P_{n+1}(x_2) = 0, ~~P_{n+1}(x_3) = 0, \dots, ~~P_{n+1}(x_n) = 0, ~~P_{n+1}(x_{n+1}) = 1.$$

Xem thêm: crop nam

Tóm lại tất cả chúng ta sở hữu $$P(x) = y_1 \frac{(x-x_2)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_1-x_2)(x_1-x_3) \dots (x_1-x_n)(x_1-x_{n+1})} + y_2 \frac{(x-x_1)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_2-x_1)(x_2-x_3) \dots (x_2-x_n)(x_2-x_{n+1})}$$ $$ + \dots + y_n \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_{n+1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2) \dots (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n+1})} + y_{n+1} \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_n)}{(x_{n+1}-x_1)(x_{n+1}-x_2) \dots (x_{n+1}-x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n})},$$

Hay viết lách cụt gọn gàng lại như sau $$P(x) = \sum_{i=1}^{n+1} y_i \prod_{j \neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
Đây đó là công thức nội suy Lagrange.

Chúng tao đánh giá một vài ba ví dụ.

Ví dụ 1. Tìm nhiều thức $P(x)$ sở hữu bậc bé xíu bại hoặc bởi vì $4$ sao cho tới $$P(1) = 1, ~~P(2) = 1, ~~P(3) = 2, ~~P(4) = 3, ~~P(5) = 5$$

Chúng tao người sử dụng công thức nội suy Lagrange  $$P(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)} + \frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)}$$ $$+ 2 \frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)} + 3 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)} + 5 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}$$

Ví dụ 2. Tìm nhiều thức $P(x)$ sở hữu bậc bé xíu bại hoặc bởi vì $4$ sao cho tới $$P(1) = 1, ~~P(2) = 4, ~~P(3) = 9, ~~P(4) = 16, ~~P(5) = 25$$

Dùng công thức nội suy Lagrange thì $$P(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)} + 4 \frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)}$$ $$+ 9 \frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)} + 16 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)} + 25 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} $$

Khai triển những biểu thức này rời khỏi, những bạn cũng có thể kiểm triệu chứng rằng $P(x) = x^2$.