công thức tính tích vô hướng của hai vectơ

Bài ghi chép Công thức tính Tích vô vị trí hướng của nhị vecto nhập không khí với cách thức giải cụ thể chung học viên ôn luyện, biết phương pháp thực hiện bài bác luyện Công thức tính Tích vô vị trí hướng của nhị vecto nhập không khí.

Bạn đang xem: công thức tính tích vô hướng của hai vectơ

Công thức tính Tích vô vị trí hướng của nhị vecto nhập không khí cực kỳ hay

Bài giảng: Các dạng bài bác luyện hệ trục tọa phỏng nhập không khí - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

+ Tích vô vị trí hướng của nhị vecto:

    a→.b→=a₁.b₁+ a₂.b₂+ a₃.b₃

+ a→⊥b→⇔a₁.b₁+ a₂.b₂+ a₃.b₃=0

+ a→²=a₁²+a₂²+a₃²

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không khí với hệ trục tọa phỏng Oxyz, cho những vecto a→=(1;2;1),

b→=(3;-1;2), c→=(4; -1; -3),d→=(3; -3; -5),u→=(1;m;2),m∈R.

a) Tính a→.b→; b→(a→-2c→)

b) So sánh a→.(b→.c→) và (a→.b→ ) c→

c) Tính những góc (a→,b→ ), ( a→+b→,3a→- 2c→ )

d) Tìm m nhằm u→⊥(b→+d→)

e) Tìm m nhằm (u→,a→ )=60⁰

Quảng cáo

Lời giải:

a) a→ =(1;2;1),b→ =(3;-1;2)

⇒a→ .b→ =1.3+2.(-1)+1.2=3.

c→ =(4; -1; -3)⇒2c→ =(8; -2; -6)⇒ a→ -2c→ =(-7;4;7)

⇒b→ (a→ -2c→ )=3.(-7)-1.4+2.7=-11

b) b→ .c→ =3.4+(-1).(-1)+2.(-3)=7⇒a→ .(b→ .c→ )=(7;14;7)

a→ .b→ =3⇒(a→ .b→ ) c→ =(12; -3; -9)

Vậy a→ .(b→ .c→ )≠(a→ .b→ ) c→

c) Ta có:

⇒(a→.b→ )≈71⁰

+ a→+ b→=(4;1;3),3a→- 2c→=(-5;8;9)

⇒cos( a→+b→,3a→- 2c→ )

⇒( a→ +b→ ,3a→ - 2c→ )≈77⁰

d) b→ +d→ =(6; -4; -3); u→ =(1;m;2)

u ⃗⊥(b→ +d ⃗ )⇔u→ .(b→ +d→ )=0⇔6-4m-6=0⇔m=0

e)

(u→ ,a→ )=60⁰⇔cos⁡(u→ ,a→ )=1/2

Bài 2: Trong không khí hệ tọa phỏng Oxyz, mang lại nhị vecto a→,b→ sao mang lại (a→,b→ )=120⁰,

|a→ |=2; |b→ |=3. Tính |a→+ b→ | và |a→-2b→ |

Lời giải:

Áp dụng công thức: a→ .b→ =|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ ,b→ )

Ta có: |a→ + b→ |²=(a→ + b→ )²=a→ ²+2a→ .b→ +b→ ²

=|a→ |²+|b→ |²+2|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ ,b→ )=4+9+2.2.3.((-1)/2)=7

⇒|a→ + b→ |=√7

Tương tự:

|a→ -2b→ |² =|a→ |²+4|b→ |²-4|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ ,b→ )=4+36-4.2.3.((-1)/2)=52

⇒|a→ -2b→ |=2√(13)

Quảng cáo

Bài 3: Trong không khí Oxyz, cho những điểm A(2; -1; 1), B(3; 5; 2), C(8; 4; 3), D(-2; 2m+1; -3)

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b) Tìm m sao mang lại tam giác ABD vuông bên trên A

c) Tính số đo góc A của tam giác ABC

Lời giải:

a) Ta có: AB→=(1;6;1); BC→=(5;-1;1)

⇒AB→.BC→=1.5+6.(-1)+1.1=0

⇒AB→⊥BC→⇒ΔABC vuông bên trên B.

b) AB→=(1;6;1); AD→=(-4;2m+2; -4)

Tam giác ABD vuông bên trên A ⇔AB→.AD→=0

⇔1.(-4)+6.(2m+2)+1.(-4)=0

⇔12m+4=0⇔m=(-1)/3

c) AB→=(1;6;1); AC→=(6;5;2)

cos⁡A=cos⁡(AB→;AC→ )

⇒Â≈40⁰

B. Bài luyện vận dụng

Bài 1: Cho những vectơ u→(u₁;u₂;u₃) và v→(v₁;v₂;v₃), u→. v→=0 khi và chỉ khi:

   A. u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃=0

   B. u₁+v₁+u₂+v₂+u₃+v₃=0

   C. u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃=1

   D. u₁v₂+u₂v₃+u₃v₁=-1

Lời giải:

Đáp án : A

Bài 2: Cho nhị vectơ a→ và b→ tạo ra cùng nhau góc 60⁰ và |a→| =2; |b→| =4. Khi cơ |a→ + b→ | bằng:

   A. 2√7    B. 2√3

   C. 2√5   D. 2

Lời giải:

Đáp án : A

Giải quí :

|a→ + b→ |²=(a→ + b→ )²=|a→ |²+|b→ |²+2|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ + b→ )

=4+16+2.2.4.1/2=28

⇒|a→ + b→ |=2√7

Quảng cáo

Bài 3: Cho a→(-2;1;3), b→(1;2;m). Với độ quý hiếm này của m nhằm a→ vuông góc với b→ ?

   A. m=-1   B. m=1

   C. m=2   D. m=0

Lời giải:

Đáp án : D

Giải quí :

a→ vuông góc với b→ khi và chỉ khi a→ . b→=0

⇔-2.1+1.2+3.m=0⇔m=0

Bài 4: Tính cosin của góc thân thiện nhị vectơ a→ và b→ biết a→(8;4;1), b→(2;-2;1)

   A. 1/2   B. √(2)/2

   C. √(3)/2   D. 1/3

Lời giải:

Đáp án : D

Giải quí :

cos⁡(a→ , b→)

Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Khi cơ số đo của góc BACˆ bằng:

   A. 30⁰    B. 90⁰

   C. 60⁰   D. 45⁰

Lời giải:

Đáp án : B

Giải quí :

AB→=(-3;0; -4); AC→=(4;0;-3)

cos⁡BACˆ=cos⁡( AB→ ; AC→)

⇒BACˆ=90⁰

Bài 6: Cho tứ điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). Khi cơ số đo của góc thân thiện hai tuyến phố trực tiếp AB và CD là :

   A. 30⁰    B. 45⁰

   C. 60⁰   D. 90⁰

Lời giải:

Đáp án : B

Giải quí :

AB→ =(-1;1;0); CD→ =(-2;1; -2)

Gọi góc thân thiện 2 đường thẳng liền mạch AB và CD là α

⇒α=45⁰

Bài 7: Trong không khí với hệ toạ phỏng Oxyz, mang lại nhị vecto a→; b→. Trong những xác định sau, xác định này đúng:

   A. a→ .|b→ |=|a→ |.b→ với từng a→ ; b→

   B. ( a→ b→ )²=a→ ² . b→ ² với từng a→ ; b→

   C. |a→ . b→ | ≤|a→ |.|b→ | với từng a→ ; b→

   D. a→ . b→ =0 khi và chỉ khi a→ = 0→ hoặc b→ = 0→

Lời giải:

Đáp án : C

Giải quí :

VD: a→ =(2; -3;1), b→ =(1;1;1)

⇒|a→ |=√14; |b→ |=√3

a) a→ . |b→ |=(2√3; -3√3;√3)

|a→ |. b→ =(√14; √14; √14)

⇒ a→ . |b→ |≠| a→ | . b→

Xem thêm: tóc ngắn nữ 2022

b) a→ b→ =2.1-3.1+1.1=0

a→ ² . b→ ²=14.3=52

⇒( a→ b→ )²≠ a→ ² . b→ ²

d) a→ b→ =0 tuy nhiên a→ ≠ 0→ hoặc b→ ≠ 0→

Vậy a, b, d sai, c đích thị.

Bài 8: Trong không khí Oxyz, mang lại a→(-1;2;-3), b→(3;3;4), c→(5;0-1). Giá trị của a→ (b→ + c→ ) là:

   A. 8   B. 11

   C. -8   D. -11

Lời giải:

Đáp án : D

Giải quí :

b→ + c→ =(8;3;3)

⇒ a→ (b→ + c→ )=-1.8+2.3-3.3=-11

Bài 9: Cho 3 điểm A(2; 1; -3), B(–2; 2; –6), C(5; 0; –1). Tích AB→. AC→ bằng:

   A. -6   B. 65

   C. -19    D. 33

Lời giải:

Đáp án : C

Giải quí :

AB→ =(-4;1; -3); AC→=(3; -1;2)

⇒ AB→ . AC→ =-4.3+1.(-1)-3.2=-19

Bài 10: Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz, ĐK nhằm a→ vuông góc với b→ là gì ?

   A. a→ . b→ =0   B. [ a→ , b→] = 0→

   C. a→ + b→ = 0→   D. a→ - b→ = 0→

Lời giải:

Đáp án : A

Giải quí :

Bài 11: Cho nhị vecto a→; b→thay thay đổi tuy nhiên luôn luôn thỏa mãn nhu cầu |a→|=5; |b→ |=3. Giá trị lớn số 1 của |a→ -2 b→ | là:

   A. 11   B. -1

   C. 1    D. √61

Lời giải:

Đáp án : D

Giải quí :

Ta có: |a→ - 2 b→ |² = ( a→ - 2 b→ )² = | a→ |² + 4| b→ |² - 4| a→ |.| b→ |.cos⁡( a→ ; b→ )

| a→ -2 b→ | lớn số 1 ⇔ | a→ - 2 b→ |² lớn số 1 ⇔cos⁡( a→ ; b→ )=0

Khi đó: | a→ - 2 b→ |²=| a→ |²+4| b→ |²=25+4.9=61

⇒|a→ - 2 b→ |=√61

Bài 12: Trong không khí với hệ toạ phỏng Oxyz, mang lại phụ vương vectơ a→(-1;1;0), b→(1;1;0), c→(1;1;1,). Trong những mệnh đề sau, mệnh đề này sai ?

   A. | a→|= √2    B. c→ ⊥ b→

   C. a→ ⊥ b→   D. | c→ |=√3

Lời giải:

Đáp án : B

Giải quí :

Ta có: c→ . b→=1.1+1.1+0.1=2≠0

⇒ Hai vecto c→ ; b→ ko vuông góc cùng nhau

Bài 13: Trong không khí với hệ toạ phỏng Oxyz, mang lại tam giác ABC sở hữu AB→=(-3;0;4), AC→=(5;-2;4). Độ lâu năm trung tuyến AM là:

   A. 3√2   B. 4√2

   C. 2√3   D. 5√3

Lời giải:

Đáp án : A

Giải quí :

Ta có: AB=|AB→ |=5; AC=|AC→ |=√45

cos⁡BACˆ =cos⁡(AB→ ; AC→ )

Ta có: BC²=AB²+AC² - 2AB.AC.cos⁡BACˆ =68

AM là trung tuyến

⇒AM=3√2

Bài 14: Cho | a→ |=2; | b→ |=5, góc thân thiện nhị vectơ a→ và b→ bởi vì (2π)/3, u→ = k a→ - b→; v→ = a→ + 2 b→. Để u→ vuông góc với v→ thì k bằng?

   A. -45/6   B. 45/6

   C. 6/45   D. -6/45

Lời giải:

Đáp án : A

Giải quí :

u→ = k a→ - b→; v→ = a→ + 2 b→

⇒ u→ . v→ =(k a→ - b→ )(a→ +2 b→ )=k a→ ²-2 b→ ²+(2k-1) a→ . b→

Ta có: a→ . b→ =| a→ |.| b→ |.cos⁡( a→ ; b→ )=2.5.cos⁡(2π/3)=-5

⇒ u→ . v→ =4k-2.25+(2k-1).(-5)=-6k-45

Giả thiết: u→ và v→ vuông góc cùng nhau ⇒ u→ . v→ =0

⇒-6k-45=0 ⇔ k=(-45)/6

Bài 15: Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz, mang lại a→=(x;2;1), b→ =(2;1;2), Tìm x biết cos( a→ , b→ )=2/3.

   A. x=1/2   B. x=1/3

   C. x=3/2   D. x=1/4

Lời giải:

Đáp án : D

Giải quí :

Bài 16: Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz, mang lại A→ (-2;2;-1), B→ (-2;3;0), C→ (x;3;-1). Giá trị của x nhằm tam giác ABC đều là:

   A. x=-1   B. x=-3

   C.   D. x=1

Lời giải:

Đáp án : C

Giải quí :

AB→ =(0;1;1); AC→ =(x+2;1;0); BC→ =(x+2;0;-1)

Tam giác ABC đều ⇔ BACˆ= ABCˆ=60⁰

Khi đó:

⇔(x+2)² + 1=2⇔(x+2)²=1

Bài 17: Cho nhị vecto a→; b→ tạo ra cùng nhau một góc 60⁰. lõi phỏng lâu năm của nhị vecto cơ thứu tự là 5 và 10. Độ lâu năm của vecto hiệu a→ - b→ là:

   A. 15   B. 5

   C. 75   D. √(75)

Lời giải:

Đáp án : D

Giải quí :

Ta có: | a→ - b→ |²=( a→ - b→ )²=| a→ |²+| b→ |²-2| a→ |.| b→ |.cos⁡( a→ ; b→ )

=25+100-2.5.10.cos⁡60⁰ =75

⇒|a→ - b→ |=√75

Bài 18: Trong không khí với hệ tọa phỏng Oxyz,mang lại tam giác ABC với A(-4;3;5), B(-3;2;5) và C(5;-3;8). Tính cos⁡(AB→ ; BC→ ).

Lời giải:

Đáp án : C

Giải quí :

AB→ =(1; -1;0); BC→ =(8; -5;3)

Bài 19: Trong không khí với hệ toạ phỏng Oxyz, tam giác ABC sở hữu A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Số đo của góc B là:

   A. 45⁰   B. 60⁰

   C. 30⁰   D. 120⁰

Lời giải:

Đáp án : A

Giải quí :

AB→=(-3; 0;-4); BC→=(7; 0;1)

⇒(AB→ ; BC→ )=135⁰

⇒ Bˆ=45⁰

Bài 20: Trong không khí Oxyz, mang lại nhị điểm A(x; y; z), B(m, n, p) thay cho thay đổi tuy nhiên luôn luôn thỏa mãn nhu cầu ĐK x²+y²+z²=4; m²+n²+p²=9. Vecto AB→ có tính lâu năm nhỏ nhất là:

   A. 5   B. 1

   C. 13   D. Không tồn tại

Lời giải:

Đáp án : B

Giải quí :

Ta có: OA = 2; OB = 3

AB≤|OA-OB|=1

Dấu bởi vì xẩy ra khi O ở ngoài đoạn AB.

Săn SALE shopee mon 7:

• Đồ người sử dụng học hành giá cả tương đối rẻ
• Sữa chăm sóc thể Vaseline chỉ rộng lớn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

Xem thêm: áo croptop đẹp