công thức tính thể tích chóp cụt

Bài ghi chép này Vted trình diễn và trình làng cho tới độc giả Công thức tính thể tích của một khối chóp cụt và một vài ví dụ minh hoạ. Công thức này được chấp nhận tính thể tích một vài khối nhiều diện cường độ áp dụng, áp dụng cao.

Bạn đang xem: công thức tính thể tích chóp cụt

Hình chóp cụt

Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.$ Một mặt mày phẳng lặng ko trải qua $S$ và tuy vậy song với mặt mày phẳng lặng lòng, tách những cạnh $S{{A}_{1}},S{{A}_{2}},...,S{{A}_{n}}$ ứng bên trên ${{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{n}}.$

+ Hình bao gồm những nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}$ và những hình thang ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{B}_{3}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{B}_{n}}$ được gọi là một trong những hình chóp cụt, kí hiệu là ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}.$

Một cơ hội giản dị và đơn giản, hình chóp cụt được tạo ra trở nên kể từ hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ sau thời điểm tách chuồn hình chóp $S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}.$

+ Các nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}$ được gọi là nhì mặt mày lòng, những hình thang ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{B}_{3}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{B}_{n}}$ được gọi là những mặt mày mặt mày. Các đoạn trực tiếp ${{A}_{1}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{B}_{n}}$ được gọi là những cạnh mặt mày, những cạnh của mặt mày lòng được gọi là những cạnh lòng.

+ Khoảng cơ hội thân mật nhì mặt mày lòng được gọi là độ cao của hình chóp cụt.

Hình chóp cụt đều

Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt đem nhì lòng là những nhiều giác đều và chừng nhiều năm những cạnh mặt mày đều bằng nhau.

Thể tích của khối chóp cụt

Khi tách khối chóp vày một phía phẳng lặng tuy vậy song với lòng thì mặt mày phẳng lặng cơ phân chia khối chóp đang được mang đến trở nên nhì khối nhiều diện, khối bên trên là khối chóp và khối bên dưới được gọi là khối chóp cụt.

Thể tích của khối chóp cụt đem diện tích S nhì lòng theo thứ tự là ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ và độ cao vày $h$ (khoảng cơ hội thân mật nhì đáy) là \[V=\dfrac{h({{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}})}{3}.\]

Xem thêm Công thức tính thể tích, diện tích S xung xung quanh, diện tích S toàn phần của khối nón cụt

Video bài xích giảng: Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng

>>Xem thêm Công thức tổng quát tháo tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và những tình huống đặc biệt

Combo X Luyện ganh đua 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lượng, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện ganh đua trung học phổ thông 2024 Môn Toán (Luyện từng dạng bài xích kể từ cơ bạn dạng cho tới 9 điểm)

XMAX: Luyện từng dạng bài xích áp dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kỹ năng và chữa trị đề Dự kiến 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề ganh đua trung học phổ thông 2024 Môn Toán

Các khoá học tập được dùng Tính từ lúc ngày đăng kí cho tới Lúc kì ganh đua trung học phổ thông 2024 kết thúc giục.

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đem toàn bộ những cạnh vày $a.$ Gọi $M,\text{ }N$ theo thứ tự là trung điểm của cạnh $AB$ và ${B}'{C}'.$ Mặt phẳng lặng $\left( {A}'MN \right)$ tách cạnh $BC$ bên trên $P.$ Tính thể tích $V$ của khối nhiều diện $MBP.{A}'{B}'N.$

Giải. Gọi $S$ là phó điểm của ${A}'M$ và $B{B}'$, Lúc cơ $P$ là phó điểm $SN$ và $BC.$Ta đem $\dfrac{MP}{{A}'N}=\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{BM}{{A}'{B}'}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \Delta MBP$ đồng dạng với $\Delta {A}'{B}'N$ theo gót tỷ số vày $\dfrac{1}{2}.$

Khối nhiều diện $MBP.{A}'{B}'N$ là khối chóp cụt đem độ cao $h=B{B}'=a$ và diện tích S hoặc lòng là ${{S}_{1}}={{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8},{{S}_{2}}={{S}_{MBP}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}.$

Vậy ${{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{a}{3}\left( \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}+\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}+\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}} \right)=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}.$

Chọn đáp án B.

Các em xem xét lại Bài giảng Thể tích khối chóp cụt và phần mềm khoá PRO X.

Cách 2: Ta đem $\dfrac{{{V}_{SMBP}}}{{{V}_{S{A}'{B}'N}}}=\dfrac{SM}{S{A}'}.\dfrac{SB}{S{B}'}.\dfrac{SP}{SN}={{\left( \dfrac{SB}{S{B}'} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{8}$$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}.$

Ta đem ${{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{3}S{B}'.{{S}_{\Delta {A}'{B}'N}}$$=\dfrac{1}{3}S{B}'.\dfrac{1}{2}{A}'{B}'.{B}'N\sin 60{}^\circ $$=\dfrac{1}{6}2a.a.\dfrac{a}{2}\sin 60{}^\circ $$=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.

$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}$.

Chọn đáp án B.

Các em xem xét lại Bài giảng Tỷ số Thể tích khoá PRO X.

Ví dụ 2: Cho một chậu thau nước hình chóp cụt đều (hình vẽ) đem độ cao vày $3dm,$ lòng là lục giác đều, chừng nhiều năm cạnh lòng rộng lớn vày $2dm$ và chừng nhiều năm cạnh lòng nhỏ vày $1dm.$ Tính thể tích của chậu nước

Giải. Diện tích lòng của chậu vày ${{S}_{1}}=6\left( \dfrac{{{2}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=6\sqrt{3},{{S}_{2}}=6\left( \dfrac{{{1}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.$

Chiều cao của chậu vày $h=3.$

Thể tích của chậu vày ${{V}_{0}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{3}{3}\left( 6\sqrt{3}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{6\sqrt{3}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \right)=\dfrac{21\sqrt{3}}{2}d{{m}^{3}}.$ Chọn đáp án A.

Note: Diện tích lục giác đều vội vã 6 đợt diện tích S tam giác đều phải có nằm trong chừng nhiều năm cạnh.

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đem lòng là tam giác đều cạnh $a,A{A}'=2a.$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm những cạnh $A{A}',B{B}'$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Mặt phẳng lặng $(MNG)$ tách $CA,CB$ theo thứ tự bên trên $E,F.$ Thể tích của khối nhiều diện đem sáu đỉnh $A,B,M,N,E,F$ bằng

Giải. Do $MN//(ABC)\Rightarrow (MNG)\cap (ABC)=EF//AB.$ Gọi $P$ là trung điểm $C{C}'.$ Ta đem $MNP.EFC$ là một trong những chóp cụt.

$\begin{gathered} {V_{ABNMEF}} = {V_{ABC.MNP}} - {V_{MNP.EFC}} = \dfrac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}} - \dfrac{{CP}}{3}\left( {{S_{MNP}} + {S_{EFC}} + \sqrt {{S_{MNP}}{S_{EFC}}} } \right) \\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} \right)\left( {2a} \right) - \dfrac{a}{3}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} + {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} + \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} } \right) = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{{27}}. \\ \end{gathered} $

Trong cơ ${{S}_{MNP}}={{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}};\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{CG}{CI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \Delta CEF\backsim \Delta CAB$ tỉ số $\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{S}_{CEF}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}{{S}_{CAB}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}.$

Hoặc \[{{S}_{CEF}}=\dfrac{1}{2}CE.CF.\sin \widehat{ECF}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{9}.\] Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ hoàn toàn có thể tích vày $24$. Gọi $M\,,\ N$ và $P$ theo thứ tự là những điểm phía trên những cạnh ${A}'{B}'\,,\,\ {B}'{C}'$ và $BC$ sao mang đến $M$ là trung điểm của ${A}'{B}'$, ${B}'N=\dfrac{3}{4}{B}'{C}'$ và $BP=\dfrac{1}{4}BC.$ Đường trực tiếp $NP$ tách đường thẳng liền mạch $B{B}'$ bên trên $E$ và đường thẳng liền mạch $EM$ tách đường thẳng liền mạch $AB$ bên trên $Q.$ Thể tích của khối nhiều diện lồi $AQPC{A}'MN{C}'$ bằng

Giải. Đặt $S,h$ theo thứ tự là diện tích S lòng và độ cao của lăng trụ đang được mang đến tao đem $S.h=24$ và

${{V}_{AQPC{A}'MN{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{BPQ.{B}'NM}}.$ Trong số đó $BPQ.{B}'NM$ là chóp cụt đem độ cao $h.$

Ta đem $\dfrac{EB}{E{B}'}=\dfrac{EP}{EN}=\dfrac{EQ}{EM}=\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{BQ}{{B}'M}=\dfrac{PQ}{NM}=\dfrac{1}{3}.$ Do cơ nhì tam giác $\Delta BPQ\backsim \Delta {B}'NM$ theo gót tỷ số $k=\dfrac{1}{3}.$

Suy rời khỏi ${{S}_{{B}'NM}}=\dfrac{{B}'N}{{B}'{C}'}\times \dfrac{{B}'M}{{B}'{A}'}S=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}S=\dfrac{3}{8}S;{{S}_{BPQ}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}{{S}_{{B}'NM}}=\dfrac{1}{24}S.$

Vì vậy ${{V}_{BPQ.{B}'NM}}=\dfrac{h}{3}\left( \dfrac{3}{8}S+\dfrac{1}{24}S+\sqrt{\dfrac{3}{8}S\times \dfrac{1}{24}S} \right)=\dfrac{13}{72}S.h=\dfrac{13}{72}\times 24=\dfrac{13}{3}\Rightarrow {{V}_{AQPC{A}'MN{C}'}}=24-\dfrac{13}{3}=\dfrac{59}{3}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đem lòng $ABC$ là tam giác vuông cân nặng bên trên $C,AB=2a$ và góc tạo ra vày nhì mặt mày phẳng lặng $(AB{C}')$ và $(ABC)$ vày $60{}^\circ .$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của ${A}'{C}'$ và $BC.$ Mặt phẳng lặng $(AMN)$ phân chia khối lăng trụ đang được mang đến trở nên nhì khối nhiều diện. Khối nhiều diện hoàn toàn có thể tích nhỏ rộng lớn bằng

Giải. Gọi $E$ là trung điểm $AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB \bot CC'\\ AB \bot CE \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (CEC') \Rightarrow \widehat {C'EC} = \left( {(ABC'),(ABC)} \right) = {60^0} \Rightarrow CC' = CE\sqrt 3 = a\sqrt 3 .$

Vì $(ABC)//({A}'{B}'{C}')\Rightarrow (AMN)\cap ({A}'{B}'{C}')=MQ//AN.$

Khối nhiều diện $ANC.MQ{C}'$ hoàn toàn có thể tích nhỏ rộng lớn và tà tà khối chóp cụt đem ${{S}_{1}}={{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}},{{S}_{2}}={{S}_{MQ{C}'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{8}{{a}^{2}};h=C{C}'=\sqrt{3}a.$

Vì vậy ${{V}_{ANC.MQ{C}'}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}\left( \dfrac{1}{2}{{a}^{2}}+\dfrac{1}{8}{{a}^{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}\dfrac{1}{8}{{a}^{2}}} \right)=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}.$ Chọn đáp án A.
Xem tăng Công thức tổng quát tháo tính nửa đường kính mặt mày cầu nước ngoài tiếp khối tứ diện và những tình huống đặc biệt

Câu căn vặn tự động luyện: Cho khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có tính nhiều năm cạnh vày $a.$ Mặt phẳng lặng chứa chấp đường thẳng liền mạch $C{D}'$ tạo ra với mặt mày phẳng lặng $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$ góc $\alpha $ với $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ phân chia khối lập phương trở nên nhì khối nhiều diện hoàn toàn có thể tích ${{V}_{1}},{{V}_{2}}\text{ }\left( {{V}_{1}}>{{V}_{2}} \right).$ Khi cơ ${{V}_{1}}$ bằng

Xem thêm: nhật thực xảy ra khi nào